已知A,B是抛物线y^2=4x上的两点,O为坐标原点,OA垂直OB,求证A,B两点的纵坐标之积为常数.

2个回答

  • 设A(x1,y1),B(x2,y2),

    因OA垂直OB,A、B两点不可能同在一个象限内,若在同在一个象限内则OA和OB夹角小于90度,

    只可能在不同的一、四象限,

    故A、B两点纵坐标符号相反,

    向量OA=(x1,y1),向量OB(x2,y2),

    这里设A在第一象限,则B在第四象限,

    y1=2√x1,y2=-2√x2,

    向量OA⊥OB,

    则向量OA·OB=0,

    x1*x2+y1*y2=0

    x1*x2+2√x1*(-2√x2)=0,

    √(x1x2)(√(x1x2)-4)=0,

    只有在顶点时为0,故x1和 x2均不为0,

    则只有√(x1x2)-4=0,√(x1x2)=4,x1x2=16,

    y1=2√x1,y2=-2√x2,

    y1*y2=-4√(x1*x2)=-4√16=-16,

    故A、B两点纵坐标之积为-16为常数.

    或者:向量OA⊥OB,

    则向量OA·OB=0,

    x1*x2+y1*y2=0,

    x1=y1^2/4,x2=y2^2/4,

    y1^2*y2^2/16+y1*y2=0,

    而y1 y2均不为0,

    y1*y2/16=-1,

    y1*y2=-16,

    故A、B两点纵坐标之积为-16为常数.