这是一元积分学的几何运用.
方法一：直接用微元法计算.具体思路有两个：思路一：用y=c去截取旋转体,先计算这个圆环的面积,然后表达出体积微元dv=s*dy,然后对y积分即可
思路二：用x^2+y^2=r^2这个圆柱去截取旋转体,得到一个圆筒,先表示出圆环的面积,然后乘上y,得到体积微元,然后对x进行积分即可
方法二：分割法.所求体积等于一个圆柱的体积减去一个旋转抛物面的体积.圆柱的地面半径是4,高是8,于是体积v=π*16*8=128π
剩下的旋转抛物面的体积直接根据积分来计算,体积微元的取法也如上有两种思路,现在才去思路一,用y=c去截取他,得到的圆的面积是s=πy^(4/3),于是体积微元dv=sdy=πy^(4/3)dy,积分上下限是8和0,积分得到v=3/7*π（y）^7/3,代入数值得到v=384π/7
所以两者相减就是我们要求的值.128π-384π/7=512π/7