Question

已知对任意实数x，不等式ex＞x+m，恒成立，则m的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：把给出的不等式分离参数m，然后构造辅助函数，由导函数分析导函数的最小值，则答案可求．

对任意实数x，不等式e^x＞x+m恒成立，即m＜e^x-x恒成立，

所以 m＜e^x-x的最小值．

令 f（x）=e^x-x，则 f'（x）=e^x-1，

由x＜0时f'（x）＜0，当x=0时，f'（x）=0，当x＞0时f'（x）＞0，

那么f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，

所以f（x）在x=0处取最小值f（0）=1，

因此，m的取值范围是{m|m＜1}．

故答案为（-∞，1）．

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查了导数在最大值最小值中的应用，考查了分离变量法及函数构造法，是中档题．