Question

已知函数 f(x)=- x 3 + 1 2 a x 2 +b ．

Answer 1

（1）f′（x）=-3x ²+ax，由题意知

f / (1)=0

f(1)=

5

2

∴

-3+a=0

-1+

1

2 a+b=

5

2 ⇒a=3，b=2 ，

∴ f(x)=- x 3 +

3

2 x 2 +2

∴f′（x）=-3x ²+3x=-3x（x-1），可得函数的单调性如下表

x （-∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）

f′（x） - 0 + 0 -

f（x） 递减 递增 递减 ∴f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（-∞，0）及（1，+∞）

（2）∵tanθ=-3x ²+ax，

∴0≤-3x ²+ax≤1在x∈（0，1]上恒成立，

当0≤-3x ²+ax时，可得a≥3x，∴a≥3

当-3x ²+ax≤1时， a≤

1

x +3x ，

又

1

x +3x≥2

3 （当且仅当 x=

3

3 时取等号），∴ a≤2

3 ，

综合得 3≤a≤2

3