Question

设P,Q都是3阶非零矩阵,为什么“PQ＝0,所以,秩(P)＋秩(Q)≤3”,什么定理?

Answer 1

这是一个一般的结论,没有名字的.其证明如下:

设R(p)=r.

因为PQ＝0,所以Q的每一列都是Px=0的解向量.

所以Q的所有列都可以由Px=0的基础解系来表示,所以

Q的列秩(即Q的秩)小于或等于基础解系所含解向量的个数3-r,

所以 秩(P)＋秩(Q)≤r+3-r=3.

更一般地：

设P,Q都是n阶非零矩阵,若PQ＝0,则 秩(P)＋秩(Q)≤n.