设数列{an}满足an+1＝3an+2n(n∈N* - 知识问答

设数列{an}满足an+1＝3an+2n(n∈N*)且a1，a2+5，a3 成等差数列．

1个回答

解题思路：（1）由数列{a_n}满足
a
n+1
＝3
a
n
+
2
n
(n∈
N
*
)
，分别令n=1，2，又a₁，a₂+5，a₃成等差数列，可得2（a₂+5）=a₁+a₃，联立解得即可．
（2）由数列{a_n}满足
a
n+1
＝3
a
n
+
2
n
(n∈
N
*
)
，可得
a
n+1
+
2
n+1
＝3(
a
n
+
2
n
)
，因此数列{a_n+2ⁿ}是以a₁+2为首项，3为公比的等比数列．利用通项公式即可得出．
（1）由数列{a_n}满足an+1＝3an+2n(n∈N*)，分别令n=1，2可得a₂=3a₁+2，a₃=3a₂+4．
∵a₁，a₂+5，a₃成等差数列，∴2（a₂+5）=a₁+a₃，
联立
a2＝3a1+2
a3＝3a2+4
2(a2+5)＝a1+a3，解得a₁=1，a₂=5，a₃=19．
∴a₁=1．
（2）由数列{a_n}满足an+1＝3an+2n(n∈N*)，可得an+1+2n+1＝3(an+2n)，
∴数列{a_n+2ⁿ}是以a₁+2=3为首项，3为公比的等比数列．
∴an+2n＝3×3n−1，
∴an＝3n−2n．
点评：
本题考点：数列递推式；等比数列的通项公式．
考点点评：本题考查了数列的递推式、变形化为等比数列、等比数列的通项公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．

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