用六种不同颜色(全用到)染一个正方体,则不同的染色方式共有几种?(用排列组合)

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  • 我算出来是30种,你先看看对不对:

    如果不考虑旋转,而是把这个正方体固定在空间中,那么它的六个面就是各不相同的.可分别记作:上、下、左、右、前、后.

    在这种情况下,染色方案就是一个全排列:A(6,6)=6!.

    再考虑旋转问题:

    对于上面所说的“固定”正方体,任何的旋转都会得到一个新的“固定”正方体.显然,对“可旋转”正方体而言,这两个“固定”正方体是相同的.也就是说,每一种旋转,对于上面的染色方案都是一次重复.单说一个“固定”正方体,它的旋转方式有:

    (1)上下不变,原地旋转:有3种新的结果,加上原来的就是4种;

    (2)改变上下方位:确定了上,也就确定了下,六个面,所以共有6种上下方位;

    上面两种变换是独立的,即:对(2)中的每一对上下,在(1)中都有4种旋转结果.所以全部的旋转方式就是:4×6=24种.

    而这些旋转方式,对于每个“固定”正方体都是一样的.所以,对于每个“可旋转”正方体而言,就有24次重复.那么去掉重复的染色方案就是:6!÷24=30种.

    还可以这样想:六种颜色,染到六个方位中.因为允许旋转,所以我们染色所考虑的不是每种颜色的绝对方位,而是它们的相对位置.采用分步法:

    (1)先染一个方位,即确定一个起点:

    因为不考虑绝对位置,所以谁做第一个、染什么颜色,都一样.所以,这一步只有1种结果.不妨先确定“上”,剩下的就是确定另外5个方位和5种颜色.

    (2)染“下”:

    因为“上”确定了,所以“下”也就确定了,所以只需考虑颜色:可选的颜色有5种;

    (3)染“前后左右”:

    4种颜色的排列;不过这4个方位是循环的,因此这是个“圆周排列”.结果就是:

    A(4,4)/4=6;

    所以,最终结果为:1×5×6=30种.