Question

已知椭圆C：x2a2+r2b2=1（a＜b＜0）的离心率为[1/2]，椭圆C的中心O关于直线2x-y-5=0的对称点落在

Answer 1

解题思路：（1）由题意知e=[c/a]=[1/2]，则a=2c，求出椭圆C的中心O关于直线2x-y-5=0的对称点，可求a，即可得出椭圆C的方程；

（2）设直线PN的方程为y=k（x-4）代入椭圆方程，根据判别式，可求直线PN的斜率范围，求出直线ME的方程为y-y₂=

y

2

+

y

1

x

2

−

x

1

（x-x₂），令y=0，得x=x₂-

y

2

(

x

2

−

x

1

)

y

2

+

y

1

，即可得出结论．

（1）由题意知e=[c/a]=[1/2]，则a=2c，

设椭圆C的中心O关于直线2x-y-5=0的对称点（m，n），则

n

m•2＝−1

2•

m

2−

n

2−5＝0，

∴m=4，n=-2，

∵椭圆C的中心O关于直线2x-y-5=0的对称点落在直线x=a²上．

∴a²=4，∴c=1，

∴b=

3，

∴椭圆C的方程为

x2

4+

y2

3＝1；

（2）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x-4）．

代入椭圆方程，可得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0．①

由△=（-32k²）²-4（4k²+3）（64k²-12）＞0，得4k²-1＜0，∴-

3

6＜k＜

3

6

又k=0不合题意，∴直线PN的斜率的取值范围是：（-

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．