(1)①把D(4,1)代入y=
a
x 得a=1×4=4,
所以反比例函数解析式为y=
4
x (x>0);
设直线l的解析式为y=kx+t,
把D(4,1),E(1,4)代入得
4k+t=1
k+t=4 ,
解得
k=-1
t=5 .
所以直线l的解析式为y=-x+5;
②直线l向下平移m(m>0)个单位得到y=-x+5-m,
当方程组
y=
4
x
y=-x+5-m 只有一组解时,直线l与双曲线有且只有一个交点,
化为关于x的方程得x 2+(m-5)x+4=0,
△=(m-5) 2-4×4=0,解得m 1=1,m 2=9,
而m=9时,解得x=-2,故舍去,
所以当m=1时,直线l与双曲线有且只有一个交点;
(2)作DF⊥x轴,如图,
∵点D为线段AB的n等分点,
∴DA:AB=1:n,
∵DF ∥ OB,
∴△ADF ∽ △ABO,
∴
AF
AO =
DF
BO =
AD
AB ,即
AF
a =
DF
b =
1
n ,
∴AF=
a
n ,DF=
b
n ,
∴OF=a-
a
n ,
∴D点坐标为(a-
a
n ,
b
n ),
把D(a-
a
n ,
b
n )代入y=
a
x 得(a-
a
n )•
b
n =a,
解得b=
n 2
n-1 .