Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝23an+1（n∈N*）；

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）直接根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求解数列的通项公式即可，要验证n=1时通项是否成立；

（Ⅱ）由n|a_n|=3n•2^n-1对数列{n|a_n|}用错位相减法求和即可得数列{T_n}的通项公式．

（Ⅰ）a₁=3，当n≥2时，Sn−1＝

2

3an−1+1，

∴n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝

2

3an−

2

3an−1，

∴n≥2时，

an

an−1＝−2

∴数列a_n是首项为a₁=3，公比为q=-2的等比数列，

∴a_n=3•（-2）^n-1，n∈N^*

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n|a_n|=3n•2^n-1．

∴T_n=3（1+2•2¹+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1）

2T_n=3（1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ）

∴-T_n=3（1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ）

∴−Tn＝3[

1−2n

1−2−n•2n]

∴T_n=3+3n•2ⁿ-3•2ⁿ

点评：

本题考点： 数列递推式；数列的求和．

考点点评： 本题第一问考查了已知前n项和为Sn求数列{an}的通项公式，根据an和Sn的关系：an=Sn-Sn-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：an=Sn-Sn-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．