Question

已知a,b,c为正数,a^3+b^3+c^3=3abc 求证:a=b=c

Answer 1

因为a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) ,由条件a^3+b^3+c^3=3abc

所以(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0

要想(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0,必须(a+b+c)=0或者（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0

因为已知a,b,c为正数,所以只能是（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0

又a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=1/2(a-b)^2+1/2(b-c)^2+1/2(a-c)^2=0

因为平方只能大于或等于零,所以要想1/2(a-b)^2+1/2(b-c)^2+1/2(a-c)^2=0

当且仅当a=b=c时等式成立