解题思路：先用2α的三角函数表示△AOB的周长，进而导数求最值，从而得解．
由题意，△AOB的周长可表示为OA+OB+PA+PB＝2+cot2α+1+2tan2α+
1
sin2α+
2
cos2α
令tan2α=t，则周长为y=3+
1
t+2t+
t2+1
t+ 2
t2+1
y/＝−
1
t2+2−
1
t2
t2+1+
2t
t2+1
令y′=0，可得t＝
3
4
∵函数在区间（0，[3/4]）上单调减，在（[3/4]，+∞）上单调增，
∴函数在t＝
3
4时，取得极小值，且为最小值．
∴当tan2α＝
3
4时，周长最小
∴[2 tanα
1−tan2α＝
3/4]
∴tanα＝
1
3
∴cotα=3
故答案为：3
点评：
本题考点： 基本不等式在最值问题中的应用．
考点点评： 本题以直线为载体，考查导数的运用，计算要细心．