Question

证明在除法下封闭的有理数集合在乘法下也封闭,快,同学重修在,要规范!

Answer 1

证明：

设有理数集合Q在除法下封闭,Q中元素可表示成a/b(a,b属于整数,且b不为0).

对于任意a/b属于Q,因为(a/b)/(a/b)=1,所以1属于Q.

所以对于任意a/b属于Q,有1/(a/b)=b/a属于Q.

因此对于任意a/b,c/d属于Q,令q=(a/b)*(c/d),因为c/d属于Q,所以d/c也属于Q,所以q=(a/b)/(d/c).由于Q对于除法封闭,a/b和d/c都属于Q,所以q必属于Q,由a/b,c/d的任意性可知Q对于乘法也封闭.