（2014•马鞍山一模）已知数列{an}中，a1= - 知识问答

（2014•马鞍山一模）已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2

1个回答

解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出
a
n+1
a
n
=
a
n
a
n-1
+1
，由此能证明
{
a
n+1
a
n
}
是等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
a
n+1
a
n
=n+1
，从而得到
g
n
(x)=
a
n
x
n-1
(n-1)!
=nx^n-1，由此利用分类讨论思想和错位相减法能求出f（x）的解析式．
（Ⅲ）由已知条件推导出
f(2)=
1-
2
n
(1-2)
2
-
n
2
n
1-2
=(n-1)
2
n
+1
，
3
n
g
n
(3)=
3
n
，由此利用数学归纳法能证明对∀n∈N₊，不等式
f(2)＜
3
n
g
n
(3)
恒成立．
（Ⅰ）证明：∵an+1an-1=anan-1+an2，
∴
an+1
an=
an
an-1+1，∴
an+1
an-
an
an-1=1，
∴{
an+1
an}是公差是1的等差数列．…（4分）
（Ⅱ）∵a₁=1，a₂=2，{
an+1
an}是公差是1的等差数列，
∴
an+1
an=n+1，
∴an=
an
an-1•
an-1
an-2…
a2
a1•a1=n•（n-1）…2•1=n!…（6分）
∴gn(x)=
anxn-1
(n-1)!=nx^n-1，
∴当x=1时，f(x)=f(1)=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2…（7分）
当x≠1时，f（x）=1+2x+3x²+…+nx^n-1．①
xf（x）=x+2x²+3x³+…+（n-1）x^n-1+nxⁿ．②
①-②，得：（1-x）f（x）=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=
1-xn
1-x-nxn，
∴f(x)=
1-xn
(1-x)2-
点评：
本题考点：数列与不等式的综合．
考点点评：本题考查等差数列的证明，考查函数解析式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法和数学归纳法的合理运用．

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