Question

全体正整数的的倒数平方和为多少?

Answer 1

1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…… 这个问题莱布尼茨和伯努力都曾经研究过,但是没有结果,而欧拉运用他娴熟的数学技巧给出了如下的算法.已知sinZ=Z-Z^3/3!+Z^5/5!-Z^7/7!+……（在此,n!表示n的阶乘） 而sinZ=0的根为0,±π,±2π,……（π表示圆周率） 所以sinZ/Z=1-Z^2/3!+Z^4/5!-Z^6/7!+……的根为±π,±2π,…… 令w=Z^2,则1-w/3!+w^2/5!-w^3/7!+……=0的根为π︿2,（2π）︿2,…… 又由一元方程根与系数的关系知,根的倒数和等于一次项系数的相反数,得 1/π︿2+1/（2π）︿2+1/(3π)^2+……=1/3!化简,得1+1/2^2+1/3︿2+……＝π︿2/6