以后学了高等数学就明白了,不动点大多用于极限过程.如数学分析中的隐函数定理、反函数定理的一般形式,微分方程初值问题解的存在唯一性定理,都是利用不动点理论证明的.
至于你的这个问题,是数列的计算技巧问题.这里利用特征根（也就是解得的不动点）可以把数列的通项公式写出来,进而得到周期.可以参看任何一本组合数学的书.由于数列是分式线性变换的迭代,可以和二阶矩阵的乘幂对应,所以也可以利用线性代数的特征值得到标准形来求解,都是类似的想法.——这就是这个题目背后的数学内容
具体的内容大概写起来很长,建议你去查书,组合数学的书或数学竞赛书中讲组合数学或数列的一部分.
对于高中生,当然可以从更自然的角度去看这个问题：递推公式可以通过适当的变换,转化为（一个或两个）等比数列求解.