将一块圆心角为120°,半径为20 cm的扇形铁片截成一块矩形,如图,有2种裁法:让矩形一边在扇形的一半径OA

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  • 解题思路:对甲种裁法分析设∠MOA=θ,则矩形的一边为20sinθ,一边为20cosθ,则得出面积,利用正弦函数取最值的方法求出最大面积;对乙种裁法分析设∠MOA=α利用三角函数表示出长为40sin(60°-α),再用相似三角形求得宽,进而表示出面积,利用余弦函数取最大值的方法求出最大面积.比较看哪个面积大即可.

    对图甲,设∠MOA=θ,则S1=200sin2θ.

    ∴当θ=45°时,(S1max=200cm2

    对图乙,设∠MOA=α,

    则S2=

    800

    3

    3[cos(2α-60°)-cos60°].

    当α=30°时,(S2max=

    400

    3

    3cm2

    400

    3

    3>200,

    ∴用乙种方法好.

    点评:

    本题考点: 根据实际问题选择函数类型;两角和与差的正弦函数.

    考点点评: 考查学生根据实际问题选择函数类型的能力,以及运用两角和与差的正弦函数的能力,求正弦函数最值的能力.