Question

如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，O1 O2的延长线交⊙O2于点A，AB切⊙O1于点B，交⊙O2于点C．BE是⊙

Answer 1

解题思路：（1）可通过证三角形BPG和EPB相似来求证，这两个三角形中已知了一个公共角，根据等边对等角和等角的余角相等可得出另一组对应角相等，得出两三角形全等后即可得出本题所求的结论；

（2）根据

sin∠

O

1

BF＝

3

5

，设O₁B=5x，BF=4x，O₁F=5x-2，在直角三角形O₁FB中，根据勾股定理有：O₁F²+BF²=O₁B²，求出x的值，进而求出两圆半径．

（1）证明：∵O₁P=O₁E，

∴∠E=∠O₁PE，

∵∠O₁PE+∠PGB=90°，∠PBG+∠PGB=90°，

∴∠PBG=∠O₁PG=∠E，

∵∠BPE=∠GPB，

∴△BPE∽△GPB，

∴[EP/BP]=[PB/PG]，即：PB²=PG•PE；

（2）∵∠A+∠AO₁B=∠O₁BF+∠AO₁B=90°，

∴∠O₁BF=∠A，

∵sin∠O1BF＝

3

5，

∴设O₁B=5x，BF=4x，O₁F=5x-2，

在直角三角形O₁FB中，根据勾股定理有：

O₁F²+BF²=O₁B²，

（5x-2）²+（4x）²=（5x）²，

解得x₁=1，x₂=[1/4]，

x=[1/4]时，5x-2＜0，不合题意舍去．

因此O₁B=O₁P=5×1=5．

在直角三角形AO₁B中，sin∠BAO₁=[3/5]．

因此AO₁=[25/3]，

AP=AO₁-O₁P=[25/3]-5=[10/3]，因此O₂的半径为[5/3]．

点评：

本题考点： 圆的综合题．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质以及解直角三角形的应用等知识点，注意巧妙利用勾股定理，设未知数列出方程．