Question

过抛物线y2=4x的焦点，作直线与抛物线相交于P、Q两点，求线段PQ中点的轨迹方程．

Answer 1

解题思路：确定y²=4x的焦点坐标，分类讨论，利用点差法，即可求得结论．

∵y²=4x的焦点坐标为F（1，0）

∴当直线PQ的斜率k存在时，可设其方程的y=k（x-1），且k≠0

又设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），中点M的坐标为（x₀，y₀），则有：

2y0=y1+y2

2x0=x1+x2

而由题意，得

y21=4x1

y22=4x2

∴(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)

∴

y1-y2

x1-x2=

4

y1+y2

∴k=

2

y0…（4分）

∵点M（x₀，y₀）在直线PQ上

∴y0=k(x0-1)

∴

y20=2(x0-1)

即得线段PQ中点的轨迹方程为y²=2（x-1）…（5分）

而当直线PQ的斜率不存在时，有PQ⊥x轴，此时PQ的中点M，即为焦点F（1，0），满足y²=2（x-1）

综上，线段PQ中点的轨迹方程为y²=2（x-1）…（6分）

点评：

本题考点： 圆锥曲线的轨迹问题；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．