(1).平行四边形
证明：
∵MN是△GBC的中位线
∴MN//BC,且MN=1/2BC
∴MN//EF,且MN=EF
∴MNEF是平行四边形
(2).AB/AC=1
证明：设H为BC中点,连接AH
∵AH,CF,BE均为中线
∴相交于一点G
∵E,N分别是AC,GC的中点
∴EN是△CAG的中位线
∴EN//AG
∵EN⊥EF(因为EFMN是矩形)
∴AG⊥EF
又∵EF//BC
∴AH⊥BC(AH是AG的延长线)
又∵AH是中线
∴AH是BC的垂直平分线
∴AB=AC(因为垂直平分线上的点到两端的距离相等)
(3).证明：AH/BC=3/2
∵四边形MNEF是菱形
∴EN=EF
∵EN是△CAG中位线
∴EN=1/2AG
∵AG=2/3AH(重心三等分中线,G是重心,即三条中线交点)
∴EN=1/2×2/3AH=1/3AH
又∵EN=EF=MN=1/2BC
∴1/2BC=1/3AH
∴AH/BC=3/2
(4).16
上面已证,AB=AC时,四边形MNEF是矩形
∵BC=16,∴MN=8
利用勾股定理：AH²=AB²-BH²=36
∴AH=6
∴AG=2/3AH=4
EN=1/2AG=2
∴矩形MNEF面积=MN×EN=16
(5).AC:AH:HC=√10:3:1
证明：
因为四边形EFMN是正方形
则要求图形同时满足菱形和矩形的性质,即AB=AC,且AH/BC=3/2
∴AH⊥BC
则在直角△AHC中：
AH/HC=AH/(1/2BC)=2AH/BC=3,∴AH=3HC
利用勾股定理：AC²=AH²+HC²=9HC²+HC²=10HC²
∴AC=(√10)HC
∴AC:AH:HC=√10:3:1