Question

已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线x=-1相切，记动点P的轨迹为C．

Answer 1

（1）∵动圆P过定点A（1，0），且与直线x=-1相切，

∴点P到A（1，0）的距离等于点P到直线x=-1的距离．

因此，点P的轨迹是以A（1，0）为焦点、x=-1为准线的抛物线

设该抛物线方程为y ²=2px，可得

p

2 =1，解得p=2

∴抛物线方程为y ²=4x，即为所求轨迹C的方程；

（2）设直线l方程为y=kx+m，（斜率不存在的直线不符合题意）

由

y 2 =4x

y=kx+m 消去y得：k ²x ²+（2km-4）x+m ²=0

由题意知k≠0，且△=（2km-4） ²-4k ²m ²=0，化简得km=1

设直线l与曲线C相切的切点P（x ₀，y ₀），则有

x ₀=

2-km

k 2 =

1

k 2 ，y ₀=kx ₀+m=

2

k ，所以P（

1

k 2 ，

2

k ）

由

x=-1

y=kx+m 解得Q（-1，m-k）

假设坐标平面内符合条件的点M存在，由图形的对称性知点M在x轴上

若取k=m=1，此时P（1，2），Q（-1，0），可得以PQ为直径的圆为x ²+（y-1） ²=2，

交x轴于M ₁（1，0），M ₂（-1，0）

若取k=2，m=

1

2 ，此时P（

1

4 ，1），Q（-1，-

3

2 ），可得以PQ为直径的圆为（x+

3

8 ） ²+（y+

1

4 ） ²=

125

64 ，

交x轴于M ₃（1，0），M ₄（-

7

4 ，0）

所以若符合条件的M点存在，则点M的坐标必定为（1，0），即为A点．

以下证明，M（1，0）就是满足条件的点

当M的坐标为（1，0）时，

MP =（

1

k 2 -1，

2

k ），

MQ =（-2，m-k）

∴

MP •

MQ =-2（

1

k 2 -1）+

2

k （m-k）=

2mk-2

k 2 =0

因此，

MP ⊥

MQ 恒成立

综上所述，在坐标平面内存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M．