Question

已知全集U=R，A={x|[3/x−4]＜-1}，非空集合B={x|x2-3（a+1）x+2（3a+1）≤0}．

Answer 1

解题思路：（1）当a=2时，求出集合B，根据集合的基本运算即可求（∁_UA）∩B：

（2）根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a的取值范围．

（1）A={x|[3/x−4]＜-1}={x|[3/x−4]+1=[x−1/x−4]＜0}={x|1＜x＜4}，

当a=2时，B={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0}={x|x²-9x+14≤0}={x|2≤x≤7}．

则∁_UA={x|x≥4或x≤1}，

则（∁_UA）∩B={x|4≤x≤7}．

（2）∵p是q的必要条件，

∴B⊆A，

由B={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0}={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}．

①若3a+1≥2，即a≥

1

3，此时B={x|2≤x≤3a+1}

∵A={x|1＜x＜4}，B⊆A，

∴此时满足3a+1＜4，即[1/3≤a＜1，

②若3a+1＜2，即a＜

1

3]，此时B={x|3a+1≤x≤2}

∵A={x|1＜x＜4}，B⊆A，

∴此时满足3a+1≥1，即0≤a＜[1/3]，

综上0≤a＜1，

即实数a的取值范围0≤a＜1．

点评：

本题考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算．

考点点评： 本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键．