Question

（2014•金华模拟）如图①，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第一象限上的一个点，连结OA，过点A作AB⊥OA

Answer 1

解题思路：探究；依据直角三角形的射影定理即可求得B点的坐标．

应用：（1）依据全等三角形的性质即可求得C点的坐标，（2）通过（1）可求得C₁、C₂的坐标，从而得出矩形面积和三角形的面积，最后求得当1≤n≤5时，线段OC扫过的图形的面积．

探究（3）如图1所示：设点A的横坐标为n，点A是抛物线y=x²在第一象限上的一个点；

∴A（n，n²）；

∴AD=n，OD=n²；

在Rt△ACB中，AD²=OD•BD；

设B点的纵坐标为y₁，则n²=n²•（y₁-n²），

解得：y₁=n²+1，

∴点B的纵坐标是 n²+1．

应用：（1）点B的纵坐标是 n²+1，A点的纵坐标是n²，

∴BD=1，

根据旋转的定义可知CE=AD=n，OE=BD=1；

∴C点的坐标为：（-n，1）；

（2）当n=1时C点的坐标为C₁（-1，1），当n=5时C点的坐标为C₂（-5，1），如上图所示；

S △OC1C2=[1/2]S 矩形OGC2H-S △OGC1=[1/2]×1×5-[1/2]×1×1=2．

∴当1≤n≤5时，线段OC扫过的图形的面积是2．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了直角三角形的射影定理的应用，全等三角形的性质，直角坐标系中面积求法是本题的关键．