已知函数f(x)=√(1+x)+√(1-x),求函数的单调区间,是否存在正常数a使不等式√(1+x)+√(1-x)≦
2-x²/a在0≦x≦1时成立?如果存在,求出最小的正数a,否则说明理由.
函数f(x)的定义域：由1+x≧0,得x≧-1；由1-x≧0,得x≦1；故定义域为：-1≦x≦1.
由于其定义域关于原点对称,且f(-x)=√(1-x)+√(1+x)=f(x),故f(x)是偶函数.
令f′(x)=1/[2√(1+x)]-1/[2√(1-x)]=0,得√(1-x)-√(1+x)=0,√(1-x)=√(1+x),1-x=1+x,2x=0,
故得驻点x=0,当x0；当x>0时,f ′(x)0)；f(0)=φ(0)=2；f(1)=√2,φ(1)=2-1/a；故要使不等式
√(1+x)+√(1-x)≦2-x²/a(a>0)在区间[0,1]内成立,只需2-1/a≧√2,即a≧(2+√2)/2,即有
amin=(2+√2)/2,φ(x)=2-2x²/(2+√2).
检查：取x=0.5,则f(0.5)=√1.5+√0.5=0.5176；φ(0.5)=2- 0.5/(2+√2)=2-0.1464=1.8535>f(0.5).