解题思路：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，等价于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分离参数，即可求a的范围；
（2）利用导数判断函数f（x）在区间
(
1
2
，2)
上的单调性，进而求出最值，得出值域；
（3）先证明lnx≥1-[1/x]，再将x用[n/n−1]替代，即可证得结论．
（1）∵f（x）[1−x/ax]+lnx，
∴f′（x）=
−ax−a(1−x)
(ax)2+[1/x]=
x−
1
a
x2，
∴当x≥[1/a]时，f′（x）≥0，f（x）在[[1/a]，+∞）上是增函数，
要使函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，则有
[1/a]≤1，即a＜0或a≥1，
∴a的取值范围是（-∞，0）∪[1，+∞）．
（2）当a=1时，f（x）=[1−x/x]+lnx，f′（x）=[x−1
x2，
∴x∈（
1/2]，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，2）时，f′（x）＞0．
∴当x=1时，f（x）min=f（1）=0，
又f（[1/2]）=1-ln2，f（2）=-[1/2]+ln2，f（[1/2]）-f（2）=ln
e
e
4＞0，
∴f（x）在区间(
1
2，2)上的值域是[0，1-ln2）．
（3）证明：由（2）知，x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1）=0即[1−x/x]+lnx≥0，
∴lnx≥1-[1/x]（当且仅当x=1时取“=”）
∴当n≥2时，将x用[n/n−1]替代得ln[n/n−1]＞1-[n−1/n]=[1/n]，
∴ln[2/1]+ln
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．