解题思路：（1）由已知中定义在R上函数
f(x)＝
b−
2
x
a+
2
x+1
是奇函数，我们可以根据奇函数的性质，得到f（0）=0，且f（-x）+f（x）=0，求出a，b的值后，求出函数的解析式，判断出函数的单调性后，可利用单调性将不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0转化为了一个关于t的一元二次不等式，根据一元二次不等式恒成立的条件，构造关于k的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）若
f(x)＜
m
2
+2tm+t+
5
2
恒成立，根据指数函数的值域，可得[1/2≤
m
2
+2mt+t+
5
2]恒成立，根据一元二次不等式恒成立的条件，构造关于m的不等式，解不等式即可得到答案．
（3）若g（x）是定义在R上周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，我们可以求出在一个周期内g（x）=0的解的个数，进而根据函数的周期性得到答案．
（1）∵f（x）为奇函数，即f（0）=0
∴b=1，
且f（-x）+f（x）=0
∴a=2
∴f(x)＝
1−2x
2x+1+2＝
1
2x+1−
1
2（2分）
易证f（x）在R上单调递减（3分）
由f（t2-2t）＜f（k-2t2）得t2-2t＞k-2t2即k＜3t2-2t恒成立
又3t2−2t＝3(t−
1
3)2−
1
3≥−
1
3
∴k＜−
1
3（5分）
（2）由f(x)＝
1
2x+1−
1
2单调递减可知f(x)∈(−
1
2，
1
2)
又f(x)＜m2+2mt+t+
5
2恒成立
∴只需[1/2≤m2+2mt+t+
5
2]（7分）
即m2+2mt+t+2≥0（m∈R）恒成立
∴4t2-4（t+2）≤0
即t2-t-2≤0∴t∈[-1，2]（9分）
（3）∵g（x）为奇函数g（-1）+g（1）=0
又g（x）的周期为2∴g（-1）=g（-1+2）=g（1）
∴g（-1）=g（1）=0（10分）
当x∈（-1，1）时g(x)＝f(x)−x＝
1
2x+1−
1
2−x为单调递减
∴g（0）=0（11分）
由g（x）的周期为2，∴所有解为x=n（n∈Z）（14分）
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 本题考查的知识点是函数奇偶性、单调性与周期性的综合应用，（1）的关键是确定函数f（x）的解析式及单调性，（2）的关键是求出不等式左边对应函数的值域，（3）的关键是求出一个周期内g（x）=0的解的个数．
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