Question

如图，平面直角坐标系中，点A坐标（2，0），点B是y轴上的一个动点，连接AB，取AB中点M，将线段AM绕着点A顺时针方向

Answer 1

（1）过N作NC⊥x轴于C，

∴∠NCA=∠AOB=90°，

∴∠NAC+∠ANC=90°，

由旋转的性质，可得：∠NAB=90°，AN=AM，

∴∠NAC+∠BAO=90°，

∴∠ANC=∠BAO，

∴△ANC∽△BAO，

∴AB：AN=OA：CN=OB：AC，

∵点A坐标（2，0），点B的坐标为（0，t），

∴OA=2，OB=t，

∵M是AB中点，

∴AM=AN=

1

2AB，

∴2：CN=2：1=t：AC，

∴CN=1，AC=

t

2，

∴OC=OA+AC=2+

t

2，

∴N（2+

t

2，1）；

（2）分三种情况：

①当t≥0时，如图1．

S=

1

2OB•OC=

1

2×t×（2+

t

2）=

1

4t²+t；

②当-4≤t＜0时，如图2．

由（1）可得：CN=1，AC=|

t

2|=-

t

2，

∴OC=OA-AC=2+

t

2，

∴S=

1

2×OB×OC=

1

2（-t）（2+

t

2）=-

1

4t²-t；

③当t＜-4时，如图3．

由（1）可得：CN=1，AC=|

t

2|=-

t

2，

∴OC=AC-OA=-

t

2-2，

∴S=

1

2×OB×OC=

1

2（-t）（-

t

2-2）=

1

4t²+t；

（3）存在点B（0，2），使得△ABN与△ANP相似．理由如下：

如图1，当△ABN∽△ANP时，AB：AN=AN：AP，

∵AN=AM=

1

2AB，

∴AP=

1

2AN=

1

4AB．

过点P作PD⊥OA于D，则PD∥OB，

∴△APD∽△ABO，

∴PD：BO=AD：AO=AP：AB=1：4，

∴PD=

1

4OB=

1

4t，AD=

1

4OA=

1

2．

∵PD∥NC，

∴△OPD∽△ONC，

∴PD：NC=OD：OC，

∴

1

4t：1=

3

2：（2+

t

2），

∴

1

4t（2+

t

2）=

3

2，

整理，得t²+4t-12=0，

解得t₁=2，t₂=-6（不合题意舍去）．

当t=2时，点B的坐标为（0，2）．

故存在点B（0，2），使得△ABN与△ANP相似．