如图，已知椭圆
，A(2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且
。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若AB上的一点F满足
，求证：CF平分∠BCA；
(Ⅲ)对于椭圆上的两点P，Q，∠PCQ的平分线总是垂直于x轴时，是否存在实数λ，使得
。
(Ⅰ)∵
，
∴
，
又
，即
，
∴
是等腰直角三角形，
∵
，
∴C（1，1），而C在椭圆上，
∴
，∴
，
∴所求椭圆方程为
。
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得
，
又
，即
，
即点F分
所成的定比为2，
设
，
∵
，
∴
，CF⊥x轴，
∴
，即CF平分∠BCA。
(Ⅲ)对于椭圆上两点P，Q，
∵
的角平分线总是垂直于x轴，
∴PC与CQ所在直线关于x=1对称，
，则
，
∵C（1，1），
则PC的直线方程为
，①
QC的直线方程为
，②
将①代入
，得
，③
∵C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程③的一个根，
∴
，
同理将②代入
，得
，④
∵C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程④的一个根，
∴
，
，
而
，
∴
，∴PQ∥AB，
∴存在实数λ，使得
。