1+1/2+1/3+1/4+……+1/2004+1/2005=

3个回答

  • 8.18

    调和数列 这个...

    答案是:=ln(2005)+C≈7.6033993397407+0.57722=8.18

    (C是欧拉常数≈0.57722)

    1/n[1/(1/n)+1/(2/n)+………+1/(1/n)]=积分 1/xdx(区间是0到1)

    证明如下:

    由于ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)

    =ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]

    =ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)

    由于

    lim Sn(n→∞)≥lim ln(n+1)(n→∞)=+∞

    所以Sn的极限不存在,调和级数发散.

    但极限S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)却存在,因为

    Sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)

    =ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)

    由于

    lim Sn(n→∞)≥lim ln(1+1/n)(n→∞)=0

    因此Sn有下界

    Sn-S(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]

    =ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0

    所以Sn单调递减.由单调有界数列极限定理,可知Sn必有极限,因此

    S=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)存在.

    于是设这个数为γ,这个数就叫作欧拉常数,他的近似值约为0.57721566490153286060651209,目前还不知道它是有理数还是无理数.在微积分学中,欧拉常数γ有许多应用,如求某些数列的极限,某些收敛数项级数的和等.例如求lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)](n→∞),可以这样做:

    lim[1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(n+n)](n→∞)=lim[1+1/2+1/3+…+1/(n+n)-ln(n+n)](n→∞)-lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)](n→∞)+lim[ln(n+n)-ln(n)](n→∞)=γ-γ+ln2=ln2