设向量a=(4cosa,sina),b=(sinB,cosB),c=(cosB,-4sinB).(1)若a与b-2c垂直

1个回答

  • 1

    a⊥(b-2c),即:a·(b-2c)=a·b-2a·c=0

    即:a·b=2a·c

    a·b=(4cosα,sinα)·(sinβ,4cosβ)=4cosαsinβ+4sinαcosβ

    =4sin(α+β)

    a·c=(4cosα,sinα)·(cosβ,-4sinβ)=4cosαcosβ-4sinαsinβ

    =4cos(α+β)

    故:4sin(α+β)=8cos(α+β)

    即:tan(α+β)=2

    2

    |b+c|^2=|b|^2+|c|^2+2b·c

    =sinβ^2+16cosβ^2+cosβ^2+16sinβ^2+2(sinβcosβ-16sinβcosβ)

    =1+16-30sinβcosβ=17-15sin(2β)

    故:|b+c|的最大值:sqrt(17+15)=4√2

    3

    tanαtanβ=sinαsinβ/(cosαcosβ)=16

    即:sinβ=16cosαcosβ/sinα

    即:b=(sinβ,4cosβ)=(16cosαcosβ/sinα,4cosβ)

    =(4cosβ/sinα)(4cosα,sinα)=(4cosβ/sinα)a

    即:a∥