已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+ - 知识问答

已知数列{an}满足a1=1，且an=2an-1+2n（n≥2且n∈N*）．

1个回答

解题思路：本题（Ⅰ）利用递推关系条件，根据等差数列定义，证明
{
a
n
2
n
}
是等差数列，得到本题结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到数列
{
a
n
2
n
}
的通项公式，从而得到数列{a_n}的通项公式；（Ⅲ）利用错位相减法，求出数列{a_n}的前n项和为S_n，得到本题结论．
（Ⅰ）证明：∵数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
∴
an
2n=
an-1
2n-1+1，
∴
an
2n-
an-1
2n-1=1，
∴{
an
2n}是等差数列．
（Ⅱ）∵数列{a_n}满足a₁=1，
∴
a1
21=
1
2，
由（Ⅰ）知：{
an
2n}是等差数列．
∴
an
2n=
1
2+(n-1)=n-
1
2．
∴an=(2n-1)2n-1．
（Ⅲ）由an=(2n-1)2n-1得：
S_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）2^n-1，…①
2S_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-1）2ⁿ，…②
将①-②得：-S_n=1+2•2¹+2•2²+2•2³+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ，
即：-S_n=1+（2•2¹+2•2²+2•2³+…+2•2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ，
=1+
22(1-2n-1)
1-2-（2n-1）•2ⁿ，
=-3+（3-2n）•2ⁿ，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．
点评：
本题考点：数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．
考点点评：本题考查了构造数列法求数列通项、错位相减法求数列的和，本题有一定的计算量，难度适中，属于中档题．

相关问题