Question

已知抛物线y2=2px（p＞0），抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离为p，过点M（1，0）作斜率为k的直线l交抛物线于A

Answer 1

解题思路：（1）首先设抛物线y²=2px（p＞0）上纵坐标为1的点为N，则N（[1/2p]，1）；然后根据抛物线的定义，列出关于p的方程，求解即可；

（2）由（1），可得抛物线方程为：y²=2x，设过点M（1，0）做斜率为k的直线l的方程为：y=k（x-1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，然后根据根与系数的关系，即可求出点Q的坐标．

（1）设抛物线y²=2px（p＞0）上纵坐标为1的点为N，则N（[1/2p]，1），

根据题意，N（[1/2p]，1）在抛物线上，

则[1/2p+

p

2]=p，可得p=1；

（2）过点M（1，0）做斜率为k的直线l的方程为：y=k（x-1），

设A（

y12

2，y1），B（

y22

2，y2），

则C（

y12

2，−y1），k_BC=

y2+y1

y22

2−

y12

2＝

2

y2−y1，

所以直线BC的方程为：y+y₁=[2

y2−y1（x−

y12/2]），

因此当y=0时，x=

y1y2

2，即Q（

y1y2

2，0），

又因为

y2＝2x

y＝k(x−1)，

可得ky²-2y-2k=0，则y₁y₂=-2，

所以当k变化时，点Q为定点，其坐标为（-1，0）．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用，考查了抛物线的定义、轨迹方程的求法，还考查了等价转化的思想，属于中档题．