Question

设函数f（x）=ln（x+1）（1）若x＞0证明： f(x)＞ 2x x+2 ．（2）若不等式 1 2 x 2 ≤f(

Answer 1

（1）令 g(x)=f(x)-

2x

x+2 =ln(x+1)-

2x

x+2 ，

则 g ′ (x)=

1

x+1 -

2(x+2)-2x

(x+2) 2 =

x 2

(x+1) (x+2) 2 ．

∵x＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．

故g（x）＞g（0）=0，即 f(x)＞

2x

x+2 ．

（2）原不等式等价于

1

2 x 2 -f( x 2 )≤ m 2 -2bm-3 ．

令 h(x)=

1

2 x 2 -f( x 2 )=

1

2 x 2 -ln(1+ x 2 ) ，则 h ′ (x)=x-

2x

1+ x 2 =

x 3 -x

1+ x 2 ．

令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=-1．

∴当x∈[-1，1]时，h（x） _max=0，∴m ²-2bm-3≥0．

令Q（b）=-2mb+m ²-3，则

Q(1)= m 2 -2m-3≥0

Q(-1)= m 2 +2m-3≥0

解得m≤-3或m≥3．