Question

高中数学求解析式的类型题f{f{x}+x-x^2}=f{x}+x-x^2,设仅有一个实数使得f{x]=x,求f{x}的解

Answer 1

仅有一个实数使得f{x]=x,设这个实数为Xo,则对任意实数X,f{x}+x-x^2=Xo

(将f{x}+x-x^2=Xo分别带入f{f{x}+x-x^2}=f{x}+x-x^2两边,即f{xo]=xo),

由f{x}+x-x^2=Xo,令左边X=Xo,则f{xo]=xo^2,又f{xo]=xo,

所以xo=xo^2,得Xo=0或1,将Xo=0或1带入f{x}+x-x^2=Xo,

(1)若Xo=0,则f{x}=x^2-x,f{xo]=xo=0,即x^2-x=0,有两解,与仅有一个实数使得f{x]=x矛盾,不成立.

(2)若Xo=1,则f{x}=x^2-x+1,带入检验,满足题意

综上:f{x}的解析式为f{x}=x^2-x+1