Question

在线等待各位抢答这道高数题已知一个函数在x=x0时,有n阶导数且前n-1阶导数全为0,但第n阶导数不为0.求证：n为奇数

Answer 1

对回答不是很有自信……

先用泰勒公式展开（泰勒公式在这里实在是难以表达...）

得：f(x)=f(x0)+.f(x0)n次导/n!*(x-x0)^n+r(x0)

由于前n-1次导都为0,所以上式省略号部分就真的省了

由于r(x0)趋向于无穷小,故只要

f(x0)n次导/n!*(x-x0)^n收敛

当n为奇数,x-->x0时(x-x0)^n不收敛,所以

n为奇数时,x0处无极值,但n偶时则有.