解题思路：（1）将A（-4，0），B（0，-4）代入抛物线的解析式
y＝
1
2
x
2
+bx+c
，运用待定系数法即可求解；
（2）先将P，Q的坐标代入（1）的抛物线解析式中，可得出y1、y2的表达式，计算y1-y2，然后看得出的结果中在x的不同取值范围下，y1、y2的大小关系；
（3）先由△ACQ是以AC为斜边的直角三角形，得出点Q在以AC为直径的圆D上；再解方程[1/2]x2+x-4=0，得到C点的坐标为（2，0），则⊙D的半径为3，点D的坐标为（-1，0）；再连接DQ，当α最大时，得到PQ为⊙D的切线，由切线的性质得到∠PQD=90°，根据勾股定理求出PQ=4；过点Q作QE⊥x轴于点E，然后根据锐角三角函数的定义分别求出QE=[12/5]，PE=[16/5]，进而得到点Q的坐标，注意点Q可以在第二象限，也可以在第三象限．
（1）∵抛物线y＝
1
2x2+bx+c经过A（-4，0），B（0，-4），
∴
1
2×16−4b+c＝0
c＝−4，
解得
b＝1
c＝−4，
∴抛物线的函数关系式为y=[1/2]x2+x-4；
（2）∵点P（a，y1），Q（a-1，y2）都在该抛物线上，
∴y1-y2=（[1/2]a2+a-4）-[[1/2]（a-1）2+（a-1）-4]=a+[1/2]．
当a+[1/2]＞0，即-[1/2]＜a＜0时，y1＞y2，
当a+[1/2]=0，即a=-[1/2]时，y1=y2，
当a+[1/2]＜0，即a＜-[1/2]时，y1＜y2；
（3）如图．
∵△ACQ是以AC为斜边的直角三角形，
∴点Q在以AC为直径的圆上．
设AC的中点为D，则⊙D的直径为AC．
∵抛物线y=[1/2]x2+x-4与x轴交于点A、C，且A（-4，0），
解方程
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题主要考查了运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，锐角三角函数的定义，综合性较强，有一定难度．运用差比法比较两个代数式的大小是一种常用的方法；（3）中根据圆周角定理得出点Q在以AC为直径的圆D上及根据切线的性质得出当α最大时，PQ为⊙D的切线是解题的关键．