第一问,若θ=0,C的坐标为(2,2)则,由坐标关系,解出
AC=√13 BC=√5 AB=2
由余弦定理知cosC=(a方+b方-c方)/2ab
解出,cosC=7√65/65
第二问,由sinA=√5/3sinB知角A,B均为锐角且角B>角A
C点横坐标应在A,B之间,在图中过C做CD垂直AB于点D,则D(1+cosθ,0),CD=2+sinθ (由C点坐标易知)
则在△ACD中sinA=CD/AC 在△CBD中,sinB=CD/BC
根据坐标算得AC=√(2+sinθ)方+(2+cosθ)方 BC=√(2+sinθ)方+cosθ方
则sinA/sinB=CD/AC:CD/BC=BC/AC=√5/3
两边带入值后平方得
5/9=((2+sinθ)方+cosθ方)/((2+sinθ)方+(2+cosθ)方)
等式右去括号整理(sinθ方+4sinθ+4+cosθ方)/(sinθ方+4sinθ+4+cosθ方+4cosθ+4)
由sinθ方+cosθ方=1 进一步整理
(5+4sinθ)/(9+4cosθ+4sinθ)=5/9
继续整理
45+20sinθ+20cosθ=45+36sinθ
sinθ/cosθ=20/16
tanθ=5/4
证毕