Question

弦AB经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则下列叙述中，错误的选项是（　　）

Answer 1

解题思路：根据抛物线方程可得焦点坐标，进而可设直线L的方程与抛物线联立根据韦达定理求得x₁+x₂，x₁x₂进而得出y₁y₂根据抛物线定义可求得|AB|的表达式，整理可得|AB|=2p（1+

1

k

2

），由于k=tana，进而可知当a=90°时AB|有最小值．

解；焦点F坐标（ [p/2]，0），设直线L过F，则直线L方程为y=k（x-[p/2]）

联立y²=2px得k²x²-（pk²+2p）x+

p2k2

4=0

由韦达定理得x₁+x₂=p+[2p

k2 x₁x₂=

p2/4]

∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂=p⁴y₁y₂=-p² ∴D正确

|AB|=x₁+x₂+[p/2]=x₁+x₂+p=2p+

2p

k2=2p（1+

1

k2）∴B正确

因为k=tana，所以1+

1

k2=1+

1

tan2α=

1

sin2α

所以|AB|=

2p

sin2α

当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正确

故选C

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查抛物线的应用．这道题综合了抛物线的性质、抛物线的焦点弦、直线与抛物线的关系等问题．综合性很强．