设f在x=0的某个邻域内有定义,且f"(0)存在,证明∑(n从1到无穷)f(1/n)绝对收敛的充分必要条件是f(0)=f

1个回答

  • 必要性:

    ∑f(1/n)绝对收敛,则limf(1/n)=0,n->∞

    ∴f(0)=0 =>f'(0)=limnf(1/n),若f'(0)≠0

    记an=f'(0)/n,则有lim|f(1/n)|/|an|=1

    ∴∑|f(1/n)|的敛散性和∑|an|相同

    而∑|an|=f'(0)|∑1/n是发散的,∴∑|f(1/n)|也发散,矛盾

    ∴f'(0)=0

    充分性:

    ∵f''(0)存在,∴f(x)在x=0的某个邻域内有一阶导数

    ∴limf(x)/x²=limf'(x)/(2x)=(1/2)lim(f’(x)-f'(0))/(x-0)=f''(0)/2,x->0

    ∴limn²f(1/n)=f''(0)/2,n->∞,即limn²|f(1/n)|=|f''(0)|/2

    即∑|f(1/n)|的敛散性与∑|f''(0)|/(2n²)相同

    而∑|f''(0)|/(2n²)=|f''(0)/2|∑1/n²是收敛的

    ∴∑f(1/n)绝对收敛