Question

形如a(n+2)=4a(n+1)+an的数列如何求解

Answer 1

∵a[n+2]=4a[n+1]+a[n]

∴线性递推数列的特征方程为：

X^2=4X+1

解得:X[1]=2+√5,X[2]=2-√5

则a[n]=C[1]X[1]^n + C[2]X[2]^n

∵a[1]=1,a[2]=4

∴C[1]X[1] + C[2]X[2] = 1

C[1]X[1]^2 + C[2]X[2]^2 = 4

解得:C[1]=1/(2√5),C[2]=-1/(2√5)

∴a[n]=[(2+√5)^n - (2-√5)^n]/(2√5)