解题思路：（1）由f′（x）=3ax2+2bx+c，且f′（0）=f′（1）=0，由此利用导当选性质能求出f（x）的解析式及f（x）的极大值．
（2）令f（x）≤x，即-2x3+3x2-x≤0，由此能求出m的取值范围．
（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，
由已知f′（0）=f′（1）=0，
∴
c＝0
3a+2b+c＝0，解得c=0，b=-[3/2a，
∴f′（x）=3ax2-3ax，
∴f′(
1
2)＝
3a
4−
3a
2＝
3
2]，解得a=-2，∴b=3，
∴f（x）=-2x3+3x2．
由导函数y=f′（x）的简图知x=1时，f（x）取极大值f（1）=1．
（2）令f（x）≤x，即-2x3+3x2-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，0≤x≤
1
2，或x≥1，
又f（x）≤x在区间[0，m]上恒成立，
∴0＜m≤
1
2．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．