（Ⅰ）因为f(x)＝
1+lnx
x，x＞0，则f′(x)＝−
lnx
x2，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间(a，a+
1
2)（其中a＞0）上存在极值，
所以
a＜1
a+
1
2＞1，解得[1/2＜a＜1．
（Ⅱ）不等式f(x)≥
k
x+1]，
即为
(x+1)(1+lnx)
x≥k，记g(x)＝
(x+1)(1+lnx)
x，
所以g′(x)＝
[(x+1)(1+lnx)]′x−(x+1)(1+lnx)
x2＝
x−lnx
x2，
令h（x）=x-lnx，则h′(x)＝1−
1
x，∵x≥1，∴h′（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，
从而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]min=g（1）=2，所以k≤2
（3）由（2）知：f(x)＞
2
x+1恒成立，
即lnx≥
x−1
x+1＝1−
2
x+1＞1−
2
x，
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1−
2
n(n+1)，
所以ln(1×2)＞1−
2
1×2，
ln(2×3)＞1−
2
2×3，ln(3×4)＞1−
2
3×4，
ln[n(n+1)]＞1−