Question

已知集合P={x|12≤x≤2}，y=log2（ax2-2x+2）的定义域为Q．

Answer 1

（1）由已知Q={x|ax²-2x+2＞0}，若P∩Q≠∅，

则说明在[

1

2，2]内至少有一个x值，使不等式ax²-2x+2＞0，即，

在[

1

2，2]内至少有一个x值，使a＞

2

x−

2

x2成立，令u＝

2

x−

2

x2，则只需a＞umin．又u＝−2(

1

x−

1

2)2+

1

2，当x∈[

1

2，2]时，

1

x∈[

1

2，2]，从而u∈[−4，

1

2]

∴a的取值范围是a＞-4；

（2）∵方程log2(ax2−2x+2)＝2在[

1

2，2]内有解，

∴ax2−2x+2＝4即ax2−2x−2＝0在[

1

2，2]内有解，分离a与x，得a＝

2

x+

2

x2＝2(

1

x+

1

2)2−

1

2，在[

1

2，2]上有x的值，使上式恒成立

∵

3

2≤2(

1

x+

1

2)2−

1

2≤12∴

3

2≤a≤12，即a的取值范围是[

3

2，12]．