Question

P=P1+P2+...Pn;S=S1+S2+...Sn;证明Si/Pi=S/P时,∑Pi/P*log(Si/Pi)最大

Answer 1

首先你少了两个条件.第一是所有的Pi>0和Si>0,不然对数里面可能出现负数.第二是S/P必须固定不变（见下面的证明）,不然题目的结论就不对.

定义

pi = Pi/P

si = Si/S

则

∑pi = 1

∑si = 1

∑(Pi/P)*log(Si/Pi) = ∑pi*[log(si/pi)-log(S/P)] = ∑pi*log(si/pi) - log(S/P)

如果-log(S/P)固定不变（很重要的条件!）,则∑pi*log(si/pi)最大时,∑Pi/P*log(Si/Pi)也最大.

现在考虑

si = ai + bi * x

x为一任意变量.显然,∑ai = 1及∑bi = 0.注意这里bi是任意选取的,除了和为0之外没有任何其它限制.

∑pi*log(si/pi) = ∑pi*log[(ai+bi*x)/pi]

对x求导,

d∑pi*log[(ai+bi*x)/pi]/dx = ∑pi*bi/(ai+bi*x) = 0

假定此极值处为x=0,则

∑pi*bi/si = 0

因为bi是任意选取的,所以唯一的解是

pi/si = 常数 = ∑pi/∑si = 1

即∑Pi/P*log(Si/Pi)最大时Si/Pi=S/P.