Question

已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,求证(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8

Answer 1

∵（1/a-1)

=(1-a)/a

=(a+b+c-a)/a

=(b+c)/a

又(√b-√c)^2≥0

b+c≥2√(bc)

∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a

同理

(1/b-1)≥2√(ac)/b

(1/c-1)≥2√(ab)/c

故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]

=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)

=8

∴(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥8