（1）四边形PEQF的形状是平行四边形，
理由是：∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴四边形PEQF是平行四边形，
（2）当P运动到AD的中点时，四边形PEQF是菱形，
理由是：∵P为AD中点，
∴AP=PD，
∵PE∥DQ，PF∥AQ，
∴∠APE=∠PDF，∠PAE=∠DPF，
在△APE和△PDF中
∠APE＝∠PDF
AP＝PD
∠PAE＝∠DPF
∴△APE≌△PDF（ASA），
∴PE=PF，
∴平行四边形PEQF是菱形；
（3）不可能，
∵假如四边形是正方形，
则∠AQD=90°，
根据SAS推出△ABQ≌△DCQ，
则∠AQB=∠DQC=45°，
∴AB=BQ，CQ=CD，
而已知AB=CD=2，BC=AD=3，
∴AB≠BQ，DC≠CQ，
即不可能是正方形，
故答案为：平行四边形；不可能．