题目错误,只有AB^2-AC^2=DB^2-DC^2时,才有AD⊥BC.
以下按照新题目证明.
过A做AP⊥BC于P,过D做DQ⊥BC于Q.
那么根据勾股定理,AB^2-AC^2=(AP^2+PB^2)-(AC^2+PC^2)=PB^2-PC^2=PB^2-(BC-PB)^2=2BC*BP-BC^2.
同理
DB^2-DC^2=(DQ^2+QB^2)-(DQ^2+QC^2)=QB^2-QC^2=2BC*BQ-BC^2.
由于AB^2-AC^2=DB^2-DC^2,
所以2BC*BP-BC^2=2BC*BQ-BC^2.
因此BP=BQ,P与Q重合.
过一点只能有一条直线垂直于已知直线,因此AP与DQ重合,即AD⊥BC.
用向量法的办法完全一样,
AB^2-AC^2
=(AP+PB)^2-(AC+PC)^2
=PB^2-PC^2
=PB^2-(BC-BP)^2
=2BC*BP-BC^2,
（以上皆为向量）
下同.