2009=49*41,√2009=7√41
√x+√y=√2009,由x,y的对称地位,并且显然不会相等,不妨设x>y.
易得y=2009-14√(41x)+x,故
x-y+2009=14√(41x) （1）
上式右端显然应该是整数,因为41是质数,要使上式右端是整数,x必是41的倍数.这样右端根号内可以提出41从而右端是41的倍数,再看上式左端,2009是41的倍数,于是x-y也是41的倍数,从而y也是41的倍数.
可设x=41u,y=41v,代入（1）可得：
u-v+49=14√u (2)
从上式易看出,u-v是7的倍数,记u-v=7t
则(2)可化为：
t=-7+2√u,由于2009≥x=41u,所以49≥u≥7t>0,且u,t都是整数,所以
u的取值只能是49,36,25,16,相应的t=7,5,3,1,v=0,1,4,9.
代入u,v算出x,y的值,考虑到x,y的对称性,最后可得8组
x=2009,y=0
x=1476,y=41
x=1025,y=164
x=656,y=369
x=369,y=656
x=164,y=1025
x=41,y=1476
x=0,y=2009