直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,顶点C在直线x=2上的抛物线经过A、B两点.连接AC,在抛物线上求点P,使得ΔPAC为直角三角形,且与ΔOAB相似.设抛物线与x轴另一交点为D,在直线AB上找一点M,使得ΔCDM的周长最小,求M坐标.
(1).令y=-3x+3=0,得x=1,即A(1,0)；令x=0得y=3,即B(0,3)；顶点在直线x=2上,因此可设抛物线方程为y=ax²+bx+3；将A点的坐标代入得:
a+b+3=0.(1)
对称轴x=-b/2a=2,即有：
4a+b=0.(2)
(2)-(1)得3a-3=0,故a=1,b=-4；
于是的抛物线方程为：y=x²-4x+3=(x-1)(x-3)；
抛物线与x轴的交点为A(1,0),D(3,0)；顶点C(2,-1)；
AC所在直线的斜率KAC=-1；作AP⊥AC,则AP所在直线的斜率KAP=1；
那么AP所在直线的方程为y=x-1；
令x-1=x²-4x+3,得x²-5x+4=(x-1)(x-4)=0,故得P点的坐标为（4,3)；
由于cos∠PCA=∣AC∣/∣PC∣=(√2)/(2√5)=(√10)/10；
cos∠OAB=∣OB∣/∣AB∣=1/√10=(√10)/10；
故∠PCA=∠OAB,即RTΔAPC∽RTΔOBA.
(2).AB所在直线的斜率KAB=-3；AB所在直线的方程为y=-3(x-1)=-3x+3；
设点C(2,-1)关于直线AB的对称点C'(m,n)；
那么CC'的中点的坐标为((m+2)/2,(n-1)/2),中点在BA的延长线上,因此满足方程
(n-1)/2=-3(m+2)/2+3,化简整理得 3m+n-1=0.(1)
CC'⊥AB,故其斜率KCC'=(n+1)/(m-2)=1/3,展开化简得：
m-3n-5=0.(2)
由(1)(2)解得m=4/5,n=-7/5；即C'的坐标为（4/5,-7/5)；
连接C'D与AB的交点就是使ΔCDM的周长最小的那个点M.
C'D所在直线的斜率KC'D=7/11；故其方程为y=(7/11)(x-2)-1=(7/11)x-25/11；
令-3x+3=(7/11)x-25/11,即-33x+33=7x-25；40x=55,故得x=55/40=11/8;
y=-33/8+3=-7/8,即M的坐标为(11/8,-7/8).
此时ΔCDM的周长的最小值=CD+DM+DC=CD+DM+MC'=CD+DC'
=√2+√[(3-11/8)²+(7/8)²]=√2+√(218/64)=√2+(1/8)√214.