Question

已知O为锐角△ABC的外心,证明△BOC,△COA,△AOB的面积依次成等差数列的充要条件为tana,tanb,tanc

Answer 1

首先,可以证明在斜三角形ABC中：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

证：A+B+C=180º

A+B=180º-C,tan(A+B)=tan(180º-C)=-tanC

[tanA+tanB]/[1-tanAtanB]=-tanC

tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

回到本题：

设⊿ABC的外接圆半径为R,则△BOC,△COA,△AOB的面积依次：

（1/2)R^2sin2A,（1/2)R^2sin2B,（1/2)R^2sin2C

△BOC,△COA,△AOB的面积依次成等差数列

（1/2)R^2sin2A+（1/2)R^2sin2C=2（1/2)R^2sin2B

sin2A+sin2C=2sin2B

2sin(A+C)cos(A-C)=4sinBcosB

(sin(A+C)=sinB)

cos(A-C)=2cosB=-2cos(A+C)

cosAcosC+sinAsinC=-2(cosAcosC-sinAsinC)

sinAsinC=3cosAcosC

tanAtanC=3

tanAtanBtanC=3tanB

tanA+tanB+tanC=3tanB

tanA+tanC=2tanB

tana,tanb,tanc是等差数列.

注意每一步都可以逆推,问题得证.